د ټولې پانګې د بایللو خطر
دا احتمال چې مخکې له دې چې خپل هدف ته ورسېږئ، د لوبې ټوله پانګه له لاسه ورکړئ.
د برابر ورکړې شرطونو لپاره، د ټولې پانګې د بایللو خطر د قمارباز د بربادۍ فورمول تعقیبوي. د $500 پانګې، $10 شرطونو او $600 هدف سره، شاوخوا 57% وخت هدف ته رسېږئ او پاتې وخت ټوله پانګه بایلئ.
پوښتنه
تاسو د لوبې پانګېپیسېد لوبې پانګهټولې هغه پیسې چې د لوبې لپاره بېلې شوې. د لوبې د پانګې مدیریت دا پرېکړه ده چې په هر شرط او هره ناسته کې یې څومره په خطر کې واچوئ.بشپړ یې ولولئ ← a واحدهپیسېواحدهغه بنسټیزې د شرط پیسې چې یو سیستم یا لوبغاړی پرې کار کوي. تدریجي سیستمونه په واحدونو بیانېږي څو پر هر مېز پلي شي.بشپړ یې ولولئ ← لرئ او غواړئ a + b واحدو ته ورسېږئ، په داسې حال کې چې هر ځل یو واحد پر یوه برابر ورکړې شرطشرطبرابر ورکړې شرطسور/تور، طاق/جفت، لوړ/ټیټ. 18 شمېرې، ورکړه یې 1:1 ده.بشپړ یې ولولئ ← تړئ چې د ګټلو احتمالریاضياحتمالد یوې پایلې چانس، له 0 تر 1 یا له 0% تر 100%. یوه شمېره: 1/37 = 2.70%.بشپړ یې ولولئ ← یې p = 18/37 او د بایللو احتمال یې q = 19/37 دی. څومره چانس شته چې مخکې له صفر څخه هدف ته ورسېږئ؟ دا ځواب پاسکال، فرما او هایګنز په 1650مو کلونو کې پیدا کړ او د احتمال له تر ټولو زړو پایلو څخه دی.
د قمارباز د بربادۍ فورمول
P(هدف ته رسېدل) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). د ټولې پانګې د بایللو خطرریاضيد ټولې پانګې د بایللو خطردا احتمال چې د لوبې ټوله پانګه مخکې له دې وبایلئ چې یوه موخه یا د چکرونو یو شمېر ته ورسېږئ.بشپړ یې ولولئ ← له یوه څخه د دې تفریق دی. د q/p = 19/18 ≈ 1.0556 سره، نسبت د واحدونو په شمېر کې په توانیز ډول لوړېږي، نو فورمول کوچني واحدونه په سختۍ سزا کوي: څومره چې هدف ته د رسېدو لپاره ډېر شرطونه پکار وي، هومره ډېر ځله په لاره کې د 2.70% محصول ورکول کېږي.
لوستل یې
کوچني واحدونه زیان رسوي. د $10 شرطونو سره د $500 دوه چنده کولو هڅه 6% وخت بریالۍ کېږي؛ د یوه $500 شرط سره 48.6% وخت. زړوره لوبه، یعنې لږ او لوی شرطونه، په یوه منفي متوقع لوبه کې هدف ته د رسېدو چانس تر ټولو لوړ کوي، ځکه هغه شمېر ځلونه تر ټولو کموي چې برتري پکې پلي کېږي. په ورته وخت کې ستاسو د پایلې واریانسریاضيواریانسدا اندازه کوي چې پایلې د متوقع ارزښت شاوخوا څومره خورې دي. د یوې شمېرې لپاره لوړ، د برابر ورکړې شرطونو لپاره ټیټ.بشپړ یې ولولئ ← هم تر ټولو لوړ کوي، او ماښام ژر پای ته رسوي. دې قضیې ته «زړوره لوبه غوره ده» وايي او ډوبینز او سېوېج په 1965 کې ثابته کړه.
ستونزه له کومه پیل شوه
دا پوښتنه له رولېټ څخه زړه ده. په 1656 کې پاسکال فرما ته یوه معما ورکړه: دوه لوبغاړي درې ډایسونه اچوي، هر یو له 12 نښو سره پیل کوي؛ د 11 اچونه یوه نښه یوې خوا ته وړي، او د 14 اچونه بلې خوا ته. دواړو حل کړه، او هایګنز، چې د ریاضي پوه پییر دو کارکاوي (Pierre de Carcavi) له یوه لیک یې خبر شوی و، په 1657 کې د احتمال په لومړي کتاب کې د پنځمې مسئلې په توګه چاپ کړه، له ځواب سره او پرته له ثبوت. یوولس په 27 ډوله اچول کېدای شي او څوارلس یوازې په 15 ډوله، نو هره نښه له 14 ځلو 9 ځله د لومړي لوبغاړي خوا ته ځي، او پورتنی فورمول، د هر یوه لپاره د 12 نښو سره، هغه ته د ټول څه د ګټلو تر بایللو شاوخوا 1,157 چنده ډېر چانس ورکوي. د 2.70% برتري ډېره کوچنۍ ده، خو همدا فورمول ښيي چې په ډېرو شرطونو کې څه کوي.
یو ریښتینی زړور شرط
د 2004 کال په اپرېل کې اشلي ریول (Ashley Revell)، یو ځوان انګرېز، نږدې هر هغه څه وپلورل چې درلودل یې، حتی خپلې جامې، او $135,300 یې په لاس وېګاس کې Plaza ته یوړل. له څو کوچنیو شرطونو وروسته یې ټوله اندازه یو ځل پر سورشرطسورپر 18 سرو شمېرو برابر ورکړې شرط. په فرانسوي کې: روژ.بشپړ یې ولولئ ← کېښوده. توپسامانتوپهغه کوچنی توپ چې د روټر پر خلاف لوري لارې ته غورځول کېږي. نوي توپونه له آیورین یا ټېفلون څخه جوړ دي، 18–21 ملي متره.بشپړ یې ولولئ ← پر سور 7 ودرېد او هغه له $270,600 سره ووت. پر یوه دوه صفرهڅرخصفرهغه یوازینۍ شنه خونه چې هېڅ برابر ورکړې، درجن یا ستون شرط یې نه نیسي؛ د کازینو د برترۍ سرچینه. نور نومونه: یو صفر، 0.بشپړ یې ولولئ ← څرخ هغه یو چکر 47.37% چانس و او په اوسط ډول یې $7,121 لګښت درلود، یعنې پر یوه شرط 5.26% برتري. که په $10 شرطونو وېشل شوی وای، همدا هدف به نږدې ناشونی و. زړوره لوبه شرط ښه نه کوي؛ تر ټولو لنډ یې کوي.
د ټولې پانګې د بایللو خطر پرته له هدفه
که په ساده ډول تر هغه لوبه وکړئ چې ټوله پانګه مو له لاسه ووځي یا له N چکرونو وروسته ودرېږئ، پوښتنه داسې کېږي: «څومره چانس شته چې زما د لوبې پانګه په N چکرونو کې صفر ته ورسېږي؟». د عمومي N لپاره تړلی فورمول نشته، خو د دې سایټ سمولېټرونه یې محاسبه کوي: پر سور د $10 سره د $500 پانګه په 100 چکرونو کې نږدې هېڅکله نه ختمېږي (له 1% کم)، په 500 چکرونو کې شاوخوا 9% وخت ختمېږي، او په 5,000 کې شاوخوا 95% وخت. پرته د درېدو له قاعدې، احتمال 100% ته ورنږدې کېږي، چې دا د کازینو د برترۍریاضيد کازینو برتريد هر شرط د پیسو هغه برخه چې کازینو یې په اوسط ډول ساتي: په اروپايي رولېټ کې 2.70%.بشپړ یې ولولئ ← اوږدمهاله بڼه ده.
- p10 −$500
- p25 −$500
- میانه −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
څومره موده، او څومره مخکې
دوه نورې کلاسیکې پایلې هغو پوښتنو ته ځواب ورکوي چې لوبغاړي یې په رښتیا کوي. پرته له هدفه، ثابت برابر ورکړې شرطونه پر اروپايي څرخ د لوبې پانګې د هر واحد لپاره په اوسط ډول 37 چکره او پر امریکايي څرخ 19 چکره دوام کوي، ځکه هر چکر په اوسط ډول د یوه واحد 1/37 برخه اخلي (پر امریکايي څرخ 1/19): 100 واحده په اوسط ډول 3,700 چکره دوام کوي، که څه هم د داسې ناستو نیمایي په 3,134 کې پای ته رسېږي (د ناستې اوږدوالی او لګښت وګورئ). او د لوبې پانګه هر څومره لویه چې وي، پر اروپايي څرخ د دې چانس چې کله هم k واحده مخکې شئ (18/19)ᵏ دی. دا د یوه واحد لپاره 95% او د لسو لپاره 58% دی، خو هېڅ پانګه، هر څومره ژوره چې وي، د 13 واحدو د مخکې کېدو برابر چانس نه ورکوي؛ پر امریکايي څرخ چانس (9/10)ᵏ دی او په 7 واحدو کې له نیمایي ښکته کېږي.
د نیمایي نیمایي چانس لپاره د لوبې پانګه
پوښتنه واړوئ: څومره پیسې باید راوړئ چې لږ تر لږه نیمایي نیمایي چانس ولرئ چې مخکې د ټول څه له بایللو یوه ټاکلې اندازه وګټئ؟ د کوچنۍ ګټې لپاره ډېرې نه. د لویې ګټې لپاره اړینه پانګه په چټکۍ لوړېږي، او له یوه ټکي وروسته هېڅ پانګه بس نه ده، ځکه حتی بې پایه پانګه هم د دومره مخکې کېدو له نیمایي نیمایي کم چانس ورکوي. ټېلر (2021) دا په بل ډول وايي: پر امریکايي څرخ، د 100 واحدو ته د رسېدو د نیمایي نیمایي چانس لپاره باید له 94 پیل وکړئ، یعنې 94 په خطر کې واچوئ چې 6 وګټئ. پر اروپايي څرخ به 88 ته اړتیا ولرئ.
عملي لوست
پرېکړه وکړئ چې څه کول غواړئ. که هدف یوه ټاکلې ګټه وي، لوی او لږ شرطونه وتړئ. که هدف یو اوږد ماښام وي، کوچني شرطونه وتړئ او ومنئ چې برتري به د شرطونو د یوې لویې ټولې اندازېپیسېد شرطونو ټوله اندازههغه ټولې پیسې چې په یوه ناسته یا موده کې شرط شوې، د بیا شرط شوو ګټلو پیسو په ګډون. نور نومونه: handle، action.بشپړ یې ولولئ ← 2.70% اخلي. که هدف دواړه وي، یو څه باید پرېښودل شي، او معمولاً هغه هدف وي.
فورمول
پوښتنې
مارټینګېلستراتېژيمارټینګېلتدریجي سیستم چې له هر بایللو وروسته شرط دوه چنده کوي. د ستراتېژۍ برخه وګورئ چې څه کوي او څه نه کوي.بشپړ یې ولولئ ← یې د لنډو ناستو لپاره کموي او د اوږدو لپاره یې په ډېره کچه لوړوي. د لوی واحد سره ثابت شرطستراتېژيثابت شرطپه هر چکر کې د یوې اندازې شرط. هغه بنسټ چې هر تدریجي سیستم ورسره پرتله کېږي.بشپړ یې ولولئ ← د کمولو صادقه لار ده.
پورتنی فورمول د برابر ورکړې لپاره دی. د لوړ واریانس شرطونو لپاره په کوچنیو شرطونو کې د ټولې پانګې بایلل ډېر احتمالي دي او هدف ته په نامنظم ډول رسېږئ؛ محاسبه ګر وکاروئ.
هدف ته هر ګام د بربادۍ خوا ته له هر ګام لږ احتمال لري؛ دا نسبت د ګامونو په شمېر کې سره ضربېږي او لوییږي.
له ریاضي سره ساتېري
لومړی یې پخپله هڅه وکړئ. هر حل پټ دی؛ کله چې چمتو شوئ، پرانیزئ یې.
تاسو $100 لرئ او $1,000 غواړئ، او یوازې پر سورشرطسورپر 18 سرو شمېرو برابر ورکړې شرط. په فرانسوي کې: روژ.بشپړ یې ولولئ ← شرط کوئ. لومړی پلان: هر ځل $1 شرط کړئ. دویم پلان: هر څه چې لرئ شرط یې کړئ تر هغه چې له $500 تېر شئ، بیا یوازې هومره چې $1,000 ته ورسېږئ. کوم پلان ښه دی، او څومره؟
حل وښیاست
ځواب دویم پلان، په ډېر توپیر. شاوخوا په 9.0% وختونو کې $1,000 ته رسېږي، عادلانه 10% ته نږدې. لومړی پلان شاوخوا په 10²² کې 7 ځله بریالی کېږي.
په یوه عادلانه لوبهریاضيعادلانه لوبههغه لوبه چې هېڅ لوری پکې برتري نه لري: د هر شرط متوقع ارزښت صفر دی.بشپړ یې ولولئ ← کې به تاسو له $100 څخه $1,000 ته په لسو کې یو ځل رسېدلي واست، هر څه چې مو کړي وای، ځکه چې ستاسو د پیسو اوسط ارزښت په $100 کې پاتې کېږي.
برتري د هر شرط 2.70% اخلي، نو څومره چې ټولټال لږ شرط کوئ، هومره په لسو کې یو ته نږدې پاتې کېږئ. دویم پلان کار په څو شرطونو کې فیصله کوي: $100 کېږي $200، $400، $800، او بیا $200 بس دي. شاوخوا په 9.0% وختونو کې بریالی کېږي. لومړی پلان تر پای ته رسېدو مخکې زرګونه شرطونه نیسي، او برتري، چې په هر یوه کې کوچنۍ ده، نږدې یقیني افلاس ته رسېږي.
دا د Dubins–Savage پایله په ساده بڼه ده (Epstein, 2013): په هغه لوبه کې چې کازینو ته ګټه رسوي، هومره شرط وکړئ چې اړتیا لرئ، او څومره چې کولی شئ لږ ځله.
تاسو $500 لرئ او $1,000 غواړئ، او څنګه چې ورته ورسېږئ، درېږئ. یو ډول شرط غوره کوئ او تکراروئ یې تر هغه چې یو ځل وګټي یا پیسې ختمې شي. کوم ډول تر ټولو ښه چانس ورکوي؟
حل وښیاست
ځواب پر سور یو $500 شرط: 48.6%. هر پلان چې پیسې پر کوچنیو شرطونو خوروي، تر دې بد کار کوي.
هره د شرط اندازه داسې وټاکئ چې یوه ګټه بس وي: پر یوه شمېرهشرطیوه شمېرهیوازې یوه شمېره، ورکړه یې 35:1 ده.بشپړ یې ولولئ ← $30 $1,050 ګټي، پر دوه ګونيشرطدوه ګونیدوه ګاونډۍ شمېرې، ورکړه یې 17:1 ده.بشپړ یې ولولئ ← $60 $1,020 ګټي، او داسې نور. بیا هغه چانس وشمېرئ چې تر پیسو ختمېدو مخکې لږ تر لږه یو شرط وګټي. شپاړس $30 یوه شمېره شرطونه ټول د (36/37)¹⁶ = 64.5% په چانس خطا کېږي، نو په 35.5% وختونو کې $1,000 ته رسېږي.
جدول هر شرط ښيي. سور تر ټولو ښه دی ځکه چې په یوه شرط هلته رسېږي، نو برتري یو ځل، پر $500، ورکول کېږي. شپږ ګونیشرطشپږ ګونیپه دوو ګاونډیو کتارونو کې شپږ شمېرې، ورکړه یې 5:1 ده. په فرانسوي کې: سیزېن.بشپړ یې ولولئ ← دویم دی ځکه چې یوازې درېیو ته اړتیا لري. پر یوه درجنشرطدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، ورکړه یې 2:1 ده.بشپړ یې ولولئ ← یو شرط تر ټولو بد دی، د 12/37 چانس؛ حتی که په $250 واحدونوپیسېواحدهغه بنسټیزې د شرط پیسې چې یو سیستم یا لوبغاړی پرې کار کوي. تدریجي سیستمونه په واحدونو بیانېږي څو پر هر مېز پلي شي.بشپړ یې ولولئ ← ولوبول شي تر هغه چې $1,000 یا ډېر ولرئ، درجن یوازې په 46.4% وختونو کې هلته رسېږي.
Bollman (2024) همدا جدول د امریکايي څرخ لپاره جوړوي. د هغه د درجن په کتار کې تېروتنه ده: باید 12/38 = 31.6% وي.
شرطد شرط اندازه × د شرطونو شمېر$1,000 ته د رسېدو چانسیوه شمېره$30 × 1635.5%دوه ګونی$60 × 835.9%کتار$90 × 534.5%کونج$125 × 436.7%شپږ ګونی$166, $166, $16841.2%درجن$500 × 132.4%سور$500 × 148.6%تاسو چکر پسې چکر پر سور یو واحد شرط کوئ، د داسې لوبې پانګېپیسېد لوبې پانګهټولې هغه پیسې چې د لوبې لپاره بېلې شوې. د لوبې د پانګې مدیریت دا پرېکړه ده چې په هر شرط او هره ناسته کې یې څومره په خطر کې واچوئ.بشپړ یې ولولئ ← سره چې هېڅکله نه ختمېږي. له لومړي چکر وروسته یو واحد په ګټه یا یو واحد په زیان کې یاست. څومره چانس شته چې کله به هم بېرته دقیقاً برابر شئ؟
حل وښیاست
ځواب په 37 کې 36، یعنې 97.3%. پر امریکايي څرخ په 38 کې 36، یعنې 94.7%.
که لومړی چکر وګټي (په 37 کې 18 ځله)، تاسو یو واحد په ګټه کې یاست، او برتري هره نه ختمېدونکې ناسته ښکته کاږي، نو ژر یا وروسته بېرته له برابرۍ تېرېږئ: دا یقیني ده. که وبایلي (په 37 کې 19 ځله)، باید یو واحد پورته شئ، او د دې چانس چې کله به هم یو واحد مخکې شئ 18/19 دی (پورتنی جدول وګورئ).
یوځای: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
په عمومي ډول چانس 1 منفي د یوه چکر د ګټلو او بایللو د چانسونو تر منځ واټن دی: پر اروپايي څرخ 1 − 1/37، پر امریکايي 1 − 2/38. په داسې لوبه کې چې صفرڅرخصفرهغه یوازینۍ شنه خونه چې هېڅ برابر ورکړې، درجن یا ستون شرط یې نه نیسي؛ د کازینو د برترۍ سرچینه. نور نومونه: یو صفر، 0.بشپړ یې ولولئ ← ونه لري، واټن هېڅ نه دی او چانس 1 دی: حساب تل بېرته برابرۍ ته راځي. Epstein (2013) عمومي قاعده ورکوي.
د پاسکال د 1656 کال معما: دوه لوبغاړي درې ډایسونه اچوي، هر یو له 12 نښو پیل کوي. هر 11 یوه نښه لومړي لوبغاړي ته لېږدوي، هر 14 یوه دویم ته؛ نورې اچونې نه حسابېږي. څومره احتمال شته چې لومړی لوبغاړی ټولې 24 وګټي؟ او که د دې پر ځای په هر چکر کې د یوه ملګري پر وړاندې چې بانک دی پر سور 1 واحد شرط کړئ، هر یو 12 واحده، څومره احتمال شته چې ټول 24 وګټئ؟
حل وښیاست
ځواب لومړی لوبغاړی شاوخوا په 1,158 کې 1,157 ځله ګټي. تاسو، پر سور، یوازې شاوخوا په 34% وختونو کې ټول 24 واحده ګټئ.
درې ډایسونه 11 په 27 لارو جوړوي او 14 په 15 لارو، نو هره نښه چې خوځېږي په 42 کې 27 ځله، یعنې په 14 کې 9 ځله، لومړي لوبغاړي ته ځي. کله چې هره خوا له 12 پیل کړي، د ټولو د اخیستو چانس 1/(1 + r¹²) دی، چې r پکې د بلې خوا د چانس او ستاسو د چانس نسبت دی.
د لومړي لوبغاړي لپاره r = 5/9، او (5/9)¹² ≈ 0.00086، نو چانس شاوخوا 0.99914 دی: د 9¹² پر 5¹² نسبت، یا 282,429,536,481 پر 244,140,625، شاوخوا 1,157 پر 1. هویګنس په 1657 کې دقیقاً همدا شمېرې چاپ کړې.
پر سور، د صفر له امله r = 19/18، او (19/18)¹² ≈ 1.913: ستاسو چانس 1/2.913 ≈ 34.3% دی. سکه به 50% ورکړي. پر هر شرط 2.70% برتري، په هغو ډېرو شرطونو کې چې اړین دي، د 16 سلنیز ټکو توپیر جوړوي.
د خندا شېبه
زړوره لوبه غوره ده. ژر هم پای ته رسېږي.
سرچینې
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”