مسئله: د مېز حد
د $500 پر مېز د $10 مارټینګېل. څو ځله ماتېږي، کله چې ماتېږي څومره بایلي، او ایا د حد لوړول مرسته کوي؟
شپږ پرله پسې زیانونه یې ماتوي: په هره دوره کې 1.8%، د 100 چکریزو ناستو شاوخوا 60%. ماتېدل $630 لګښت لري. حد $5,000 ته لوړول ماتېدل نادر کوي (په هره دوره کې 0.25%) او لوی یې کوي ($5,110). د شرط په هر ډالر کې متوقع زیان په هر حد کې 2.70% دی.
پوښتنه
یو لوبغاړی پر سورشرطسورپر 18 سرو شمېرو برابر ورکړې شرط. په فرانسوي کې: روژ.بشپړ یې ولولئ ← $10 شرط تړي او له هر زیان وروسته یې دوه چنده کوي، او له ګټې وروسته بېرته پیل ته راګرځي. د مېز زیات نه زیات حد $500 دی. (a) څو پرله پسې زیانونه تدریجي سیستمستراتېژيتدریجي سیستمهره هغه قاعده چې د شرط پیسې د تېرو پایلو له مخې بدلوي. منفي تدریجي سیستمونه یې له بایللو وروسته لوړوي، مثبت یې له ګټلو وروسته.بشپړ یې ولولئ ← ماتوي؟ (b) په هره دوره کې یې احتمالریاضياحتمالد یوې پایلې چانس، له 0 تر 1 یا له 0% تر 100%. یوه شمېره: 1/37 = 2.70%.بشپړ یې ولولئ ← څومره دی؟ (c) په ماتېدو کې څومره بایلل کېږي؟ (d) د $5,000 حد ځوابونه څنګه بدلوي؟ (e) ایا کوم حد سیستم ګټور کوي؟
د (a)–(c) حلونه
شرطونه: 10، 20، 40، 80، 160، 320. اووم به 640 > 500 وي، نو شپږ زیانونه یې ماتوي. (b) پر سور p(زیان) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، یعنې په هره دوره کې شاوخوا 1.8%. یوه دوره په اوسط ډول شاوخوا دوه چکره دوام کوي، نو یوه 100 چکریزه ناسته نږدې 50 دورې لري او p(لږ تر لږه یو ماتېدل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، چې 63 اساسي واحدهپیسېواحدهغه بنسټیزې د شرط پیسې چې یو سیستم یا لوبغاړی پرې کار کوي. تدریجي سیستمونه په واحدونو بیانېږي څو پر هر مېز پلي شي.بشپړ یې ولولئ ← کېږي، د هغو $10 په وړاندې چې دوره یې د ګټلو هڅه کوله.
د (d) حل
په $5,000 کې: تر 2,560 پورې شرطونه منل کېږي؛ لسم شرط، 5,120، رد کېږي. نهه زیانونه یې ماتوي: (19/37)⁹ ≈ 0.25% په هره دوره کې، د 100 چکریزو ناستو شاوخوا 11%. په ماتېدو کې زیان: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. لوبغاړي یوه نادره ناورین د یوه لوی ناورین په بیه اخیستی. په ډېرو ناستو کې د ماتېدو متوقع لګښت p × زیان دی ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 په هره دوره کې د $500 په حد، او 0.0025 × 5,110 = $12.8 په $5,000 کې؛ د ګردولو په حد کې دا یوه شمېره ده، او دا د دورې متوقع زیانریاضيمتوقع زیانمتوقع ارزښت ضرب د شرطونو ټوله اندازه؛ هغه اوسط زیان چې په یوه ناسته یا موده کې کېږي.بشپړ یې ولولئ ← جمع هغه $10 دي چې ګټونکې دورې یې ګټي.
د (e) حل
نه. په هره دوره کې متوقع زیان = (په دوره کې د شرطونو متوقع ټوله اندازه) / 37، په هر حد کې، ځکه هر شرط د خپل ځان −1/37 دی. حد یوازې دا ټاکي چې زیان د ډېرو کوچنیو ګټو او لږو لویو زیانونو ترمنځ څنګه وېشل کېږي. پرته له حده او د بې پایه لوبې پانګېپیسېد لوبې پانګهټولې هغه پیسې چې د لوبې لپاره بېلې شوې. د لوبې د پانګې مدیریت دا پرېکړه ده چې په هر شرط او هره ناسته کې یې څومره په خطر کې واچوئ.بشپړ یې ولولئ ← سره به تدریجي سیستم «کار وکړي»، په دې معنا چې هېڅکله به مات نه شي، او په ورته وخت کې به یې بې حده اندازه شرط تړلې وي چې متوقع زیان یې د همدې بې حده اندازې 2.70% دی. د مېز حدمېزد مېز حدد اجازه لرونکي شرط لږ تر لږه او زیات نه زیات اندازه. همدا زیات نه زیات حد دی چې دوه چنده کوونکي تدریجي سیستمونه دروي.بشپړ یې ولولئ ← هغه څه نه دی چې مارټینګېلستراتېژيمارټینګېلتدریجي سیستم چې له هر بایللو وروسته شرط دوه چنده کوي. د ستراتېژۍ برخه وګورئ چې څه کوي او څه نه کوي.بشپړ یې ولولئ ← د کار کولو مخه نیسي. حساب یې مخه نیسي.
دوه ریښتیني مېزونه
د تورپ بېلګه یو $1 مېز دی چې زیات نه زیات حد یې $1,000 دی، چېرې چې یو لوبغاړی هیله لري چې ډالر په ډالر د ډوډۍ لپاره $30 وګټي. د 1، 2، 4 … 512 شرطونه لس شرطونو ته اجازه ورکوي، نو لس پرله پسې زیانونه تدریجي سیستم ماتوي: پر اروپايي څرخ له 785 دورو یو ځل (پر امریکايي څرخ له 613 یو ځل)، د $1,023 په لګښت. دېرش واړه دورې 96.2% وخت بریالۍ کېږي. پاتې 3.8% شاوخوا $1,000 بایلي، او د ماښام اوسطه پایله −$9.17 ده، چې دقیقاً د هغو $339 1/37 دی چې دېرش دورې یې په اوسط ډول شرط کوي. د $5 مېز چې زیات نه زیات حد یې $2,000 وي، هېڅ توپیر نه لري: تر $1,280 پورې شرطونه نهو شرطونو ته اجازه ورکوي، او ماتېدل پر اروپايي څرخ له 403 دورو یو ځل (پر امریکايي له 323 یو ځل) راځي او $2,555 لګښت لري.
یو شتمن لوبغاړی
تدریجي سیستم ته د ټیټ حد پر ځای ژوره پانګه ورکړئ: 1,000 واحده، د یوه واحد اساس او پر سور 1,000 چکره، او هر کله چې راتلونکی دوه چنده له پاتې پیسو ډېر وي، بیا له یوه واحد پیل کول. موږ یو میلیون داسې ماښامونه سمولېټ کړل. پر اروپايي څرخ 52% په ګټه پای ته رسېږي، 21% هر څه بایلي، او اوسطه پایله −124 واحده ده. حتی په داسې لوبه کې چې صفرڅرخصفرهغه یوازینۍ شنه خونه چې هېڅ برابر ورکړې، درجن یا ستون شرط یې نه نیسي؛ د کازینو د برترۍ سرچینه. نور نومونه: یو صفر، 0.بشپړ یې ولولئ ← نه لري او هر شرط عادلانه دی، یوازې شاوخوا 60% به په ګټه پای ته ورسېږي. عادي ماښام یوه کوچنۍ ګټه ده؛ اوسط د هغو ماښامونو له خوا ورکول کېږي چې په صفر پای ته رسېږي.
لوست
کازینوګانې حدونه د خپل واریانسریاضيواریانسدا اندازه کوي چې پایلې د متوقع ارزښت شاوخوا څومره خورې دي. د یوې شمېرې لپاره لوړ، د برابر ورکړې شرطونو لپاره ټیټ.بشپړ یې ولولئ ← د محدودولو لپاره ټاکي، نه د سیستمونو د ماتولو لپاره. د مارټینګېل ماتول یوه اړخیزه پایله ده چې ورباندې خوشحاله دي، او حساب به یې په هر حال مات کړی وای. هغه لوبغاړی چې فکر کوي حد ستونزه ده، کنده یې موندلې خو هغه یې د ښوییدنې سره غلطه کړې.
فورمول
پوښتنې
اجازه درکوي چې تر یوه لوړ حد پورې ژوندي پاتې شئ، چېرې چې ماتېدل نادر او لوی دي. په هر ډالر کې متوقع زیان نه بدلېږي.
شرطونه 10، 30، 70، 150، 310: د $500 حد له پنځو زیانونو وروسته رسېږي، او ماتېدل $570 لګښت لري. همغه 2.70%.
د دې لپاره چې یو لوبغاړی له هغه ډېر شرط ونه تړي چې د کازینو زېرمه یې په اسانۍ ورکولای شي. د واریانس مدیریت.
له ریاضي سره ساتېري
لومړی یې پخپله هڅه وکړئ. هر حل پټ دی؛ کله چې چمتو شوئ، پرانیزئ یې.
یو مارټینګېلستراتېژيمارټینګېلتدریجي سیستم چې له هر بایللو وروسته شرط دوه چنده کوي. د ستراتېژۍ برخه وګورئ چې څه کوي او څه نه کوي.بشپړ یې ولولئ ← پر سورشرطسورپر 18 سرو شمېرو برابر ورکړې شرط. په فرانسوي کې: روژ.بشپړ یې ولولئ ← له $100 پیلېږي او په یوه دوره کې ځان ته تر ټولو ډېر n شرطونه اجازه ورکوي: له n پرله پسې زیانونو وروسته لاس اخلي او له سره پیلېږي. د یوې دورې اوسطه پایله د n د یوه فورمول په توګه ولیکئ، او پر اروپايي څرخ یې د 5، 6 او 7 شرطونو لپاره حساب کړئ.
حل وښیاست
ځواب اوسط 100 × (1 − (38/37)ⁿ) دی: د 5 شرطونو لپاره −$14.26، د 6 لپاره −$17.35 او د 7 لپاره −$20.52. د ډېرو شرطونو اجازه اوسطه دوره بدتره کوي، نه ښه.
یوه دوره $100 ګټي مګر دا چې ټول n شرطونه وبایلي، چې د qⁿ په چانس پېښېږي، چې q = 19/37. کله چې ټول وبایلي، د شرط پیسې 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ سره 100 × (2ⁿ − 1) جوړوي. نو اوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) دی.
دلته 2q = 38/37، له 1 څخه لږ څه زیات، نو (2q)ⁿ د n سره لویېږي او اوسط ښکته ځي: n = 5 ورکوي 1.1426 او −$14.26؛ n = 6 ورکوي 1.1735 او −$17.35؛ n = 7 ورکوي 1.2052 او −$20.52. اوږده زینه لږ ځله بایلي، په 3.6%، 1.8% او 0.9% دورو کې، خو هر زیان یې دوه چنده لوی دی، او په هره دوره کې ډېرې پیسې له مېز څخه تېرېږي، د هر شرط په 2.70%.
پر امریکايي څرخ 2q = 40/38 او شمېرې −$29.24، −$36.04 او −$43.20 دي (Taylor, 2021). په داسې لوبه کې چې صفرڅرخصفرهغه یوازینۍ شنه خونه چې هېڅ برابر ورکړې، درجن یا ستون شرط یې نه نیسي؛ د کازینو د برترۍ سرچینه. نور نومونه: یو صفر، 0.بشپړ یې ولولئ ← ونه لري 2q = 1، او هره دوره، زینه هر څومره اوږده چې وي، اوسط یې دقیقاً صفر دی.
«لوی مارټینګېل» له زیان وروسته د شرط پیسې دوه چنده کوي او یو واحدپیسېواحدهغه بنسټیزې د شرط پیسې چې یو سیستم یا لوبغاړی پرې کار کوي. تدریجي سیستمونه په واحدونو بیانېږي څو پر هر مېز پلي شي.بشپړ یې ولولئ ← ورزیاتوي، نو د شرط پیسې 1، 3، 7، 15، 31 … کېږي. کله چې لومړۍ ګټه په 1م، 2م، 3م یا kم شرط کې راشي، څومره په ګټه کې یاست؟ د $10 واحد او $500 اعظمي حد سره، دوره څومره ځله ماتېږي، او یوه دوره په اوسط ډول څومره لګښت لري؟
حل وښیاست
ځواب په kم شرط کې ګټه تاسو k واحده په ګټه کې پرېږدي: +1، +2، +3 او داسې نور. په $10 او $500 کې دوره له پنځو زیانونو وروسته ماتېږي، د دورو 3.57%، د −$570 په بیه. په اوسط ډول یوه دوره له $85.73 شرط شویو څخه $2.32 بایلي: 2.70%.
kمې د شرط پیسې 2ᵏ − 1 واحده دي: 1، 3، 7، 15، 31. لومړنۍ k − 1 د شرط پیسې سره 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 جوړوي. په kم شرط کې ګټه 2ᵏ − 1 ورکوي، نو دوره (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k واحده په ګټه پای ته رسېږي: د ګټې تر مخه د هر زیان لپاره یو اضافي واحد.
په $10 واحد کې د شرط پیسې $10، $30، $70، $150 او $310 دي؛ بله، $630، له $500 اعظمي حد څخه پورته ده. پنځه پرله پسې زیانونه، (19/37)⁵ = 3.57%، 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 لګښت لري.
اوسط: ګټې د k = 1 تر 5 لپاره د (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 په چانس $10 × k راوړي، او ماتېدل د 3.57% په چانس $570 اخلي؛ یوځای −$2.32. شرط شوې پیسې په هره دوره کې په اوسط ډول $85.73 دي، او 2.32/85.73 = 2.70%. پر هماغه مېز عادي مارټینګېل له شپږو زیانونو وروسته ماتېږي، د دورو 1.83%، د −$630 په بیه، او له $64.20 شرط شویو څخه $1.74 بایلي: بیا هم 2.70%.
یو لوبغاړی پر سور د $1 لومړي شرط سره د مارټینګېل پلان جوړوي، پر داسې مېز چې حد یې $1,000 دی، نو لس شرطونه ممکن دي: $1، $2، $4 او داسې نور تر $512 پورې. یوه دوره څومره ځله ټول لس بایلي، دا په اوسط ډول څومره وخت نیسي، او د 200 شرطونو یو ماښام څومره ځله همداسې پای ته رسېږي؟
حل وښیاست
ځواب یوه دوره شاوخوا په 784 کې یو ځل ټول لس بایلي، چې $1,023 لګښت لري. دا په اوسط ډول شاوخوا 1,600 شرطونه دي، او د 200 شرطونو یو ماښام شاوخوا په 11% وختونو کې له دې دېوال سره ټکر کوي. یوه دوره بیا هم په اوسط ډول له $11.31 شرط شویو څخه $0.31 بایلي: 2.70%.
پر سور شرط د صفر په ګډون د 19/37 په چانس بایلي. لس پرله پسې: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، شاوخوا په 784 کې 1. د شرط پیسې 1 + 2 + 4 + … + 512 سره $1,023 جوړوي.
یوه دوره په اوسط ډول 2.05 شرطونه نیسي، نو 784 دورې شاوخوا 1,600 شرطونه نیسي. که چکر په چکر وشمېرل شي، د لسو زیانونو لړۍ په 200 شرطونو کې په 11.3% وختونو کې یو ځای راڅرګندېږي.
د ناورینونو تر منځ لوبغاړی په هره دوره کې $1 ګټي: تر بدې دورې مخکې شاوخوا $783، بیا −$1,023، په ټوله موده کې شاوخوا −$240. په هره دوره کې: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. په هره دوره کې شرط شوې پیسې: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. او −0.31/11.31 = −2.70%.
د $500 حد سره د $10 لومړی شرط پرتله کړئ، شپږ شرطونه: دېوال په 55 دورو کې یو ځل راځي، او د 200 شرطونو یو ماښام په 84% وختونو کې ورسره مخ کېږي. لوړ حد ماتېدل نادر او لوی کوي، نه ارزانه.
د خندا شېبه
په هر حد کې نادر او لوی. حاصل ضرب ثابت دی.
سرچینې
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.